Percorso sulla scacchiera

(alla fine si rivelerà una vaccata immagino, ma se qualcuno mi spiegasse l’arcano mi farebbe un grosso piacere)

Una formica (puntiforme[1]) si può muovere solo in direzione est/ovest, o nord/sud e solo lungo le linee delle  scacchiere su cui è posata.  Partendo da un angolo deve raggiungere l’angolo opposto facendo il percorso più breve. Tutte  scacchiera hanno lato unitario.

  • (1) Inizialmente la formica viene posata sulla scacchiera degenere con un solo quadrato, percorrendo il lati della stessa raggiunge l’angolo opposto facendo un percorso lungo 2. Esistono due possibili percorsi minimi.
  • (2) Su una scacchiera con quattro quadrati, di “ordine 2” diciamo, arriverà al suo obiettivo con un percorso lungo 2 e può scegliere tra un numero di percorsi minimi (pm diciamo) < 2^4. Dovrebbero essere 6 se ho contato bene.
  • (n) I pm, percorso minimi, per scacchiere di “ordine n”, ovvero con n^2 quadrati, sarà sempre lungo due e il numero dei diversi pm sarà < 2^(n*2)
  • (inf) La lunghezza di pm pare tendere, per motivi geometrici, a radice di due.

Domande al momento senza risposta

  1. Quale è il numero esatto dei pm per ogni n?
  2. Come si fa a dimostrare che il percorso tende a radice di 2? Ammesso si possa…

[1] ah che bella la matematica, con bestiacce infinitesime

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3 Risposte to “Percorso sulla scacchiera”

  1. .mau. Says:

    Non capisco. Se tutte le scacchiere sono unitarie il percorso minimo continua ad essere 2, a meno che il “pare tendere” non sia l’equivalente del paradosso delle circonferenze. Prendi una circonferenza di diametro 1 con il diametro disegnato; la circonferenza è lunga \pi. Disegna sul diametro due circonferenze di diametro 1/2: la somma dei diametri è sempre 1, e quella delle circonferenze è sempre \pi. Continua a dimezzare: all’infinito le circonferenze si confonderanno con il diametro, e quindi saranno lunghe 1.

    Per il numero dei pm, ti lascio un aiutino: considera i termini centrali delle righe dispari del triangolo di Tartaglia.

  2. bob Says:

    Contavo proprio su di te 🙂

    Il pare tendere, può essere meglio espresso con “se faccio il disegno uno dei percorsi assomiglia sempre di più alla diagonale”.

    All’altra roba ci penso con calma…

  3. .mau. Says:

    ecco, evita di fare i disegnini che è meglio.
    (prossima settimana parlerò del paradosso delle circonferenze sul Post)

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